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余数_百度百科

发布时间:2019-06-13 21:10 来源:未知 编辑:admin

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  [yú shù]

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  余数,数学用语。在整数的除法中,只要能整除与不克不及整除两种环境。当不克不及整除时,就发生余数,取余数运算:a mod b = c(b不为0) 暗示整数a除以整数b所得余数为c,如:7÷3 = 2 ······1。

  Remainder

  不克不及整除时

  余数小于除数的绝对值

  余数指整数除法中被除数未被除尽部门,且余数的取值范畴为0到除数之间(不包罗除数)的整数。

  一个数除以另一个数,如果比另一个数小的线,余数就是它本人。

  在整数的除法中,只要能整除与不克不及整除两种环境。当不克不及整除时,就发生余数,所以余数问题在小学数学中很是主要。

  取余数运算:

  a mod b = c 暗示 整数a除以整数b所得余数为c。

  余数的计较公式:c = a -⌊ a/b⌋ * b

  此中,⌊ ⌋为向下取整运算符,向下取整运算称为Floor,用数学符号⌊ ⌋暗示

  例:⌊ 3.476 ⌋=3,⌊6.7546⌋=6,⌊-3.14159⌋= -4

  如 7 mod 3 = 7-⌊7/3⌋*3=7-2*3=1

  余数有如下一些主要性质(a,b,c均为天然数):

  (1)余数和除数的差的绝对值要小于除数的绝对值(合用于实数域);

  (2)被除数=除数×商+余数;

  除数=(被除数-余数)÷商;

  商=(被除数-余数)÷除数;

  余数=被除数-除数×商。

  (3)若是a,b除以c的余数不异,那么a与b的差能被c整除。例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。

  (4)a与b的和除以c的余数(a、b两数除以c在没不足数的环境下除外),等于a,b别离除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数别离是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。留意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数别离是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。

  (5)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b别离除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数别离是3和1,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3。留意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数别离是3和4,所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。

  性质(4)(5)都能够推广到多个天然数的景象。

  例1:5120除以一个两位数获得的余数是64,求这个两位数。

  阐发与解:

  由性质(2)知,除数×商=被除数-余数。

  5120-64=5056,5056应是除数的整数倍。将5056分化质因数,获得5056=64×79。

  由性质(1)知,除数应大于64,再由除数是两位数,获得除数在67~99之间,

  合适题意的5056的约数只要79,所以这个两位数是79。

  例2:被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。

  解:由于被除数=除数×商+余数=除数×33+52,

  被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数,

  所以 除数×33+52=2058-除数,所以 除数=(2058-52)÷34=59,

  被除数=2058-59=1999。

  答:被除数是1999,除数是59。

  例3:甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。

  解:由于 甲=乙×11+32,

  所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088,

  所以 乙=(1088-32)÷12=88,

  甲=1088-乙=1000。

  答:甲数是1000,乙数是88。

  例4:有一个整数,用它去除70,110,160获得的三个余数之和是50。求这个数。

  阐发与解:先由标题问题前提,求出这个数的大致范畴。由于50÷3=16……2,所以三个余数中至多有一个大于16,推知除数大于16。由三个余数之和是50知,除数不该大于70,所以除数在17~70之间。

  由题意知(70+110+160)-50=290应能被这个数整除。将290分化质因数,获得290=2×5×29,290在17~70之间的约数有29和58。

  由于110÷58=1……5250,所以58不合题意。所求整数是29。

  例5:求478×296×351除以17的余数。

  阐发与解:先求出乘积再求余数,计较量较大。按照性质(5),可先别离计较出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数。

  478,296,351除以17的余数别离为2,7和11,(2×7×11)÷17=9……1。所求余数是1。

  例6:甲、乙两个代表团搭车去参观,每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。若是每个菲林可拍36张照片,那么拍完最初一张照片后,相机里的菲林还可拍几张照片?

  阐发与解:甲代表团坐满若干辆车后余11人,申明甲代表团的人数(简称甲数)除以36余11;两代表团余下的人正好坐满一辆车,申明乙代表团余36-11=25(人),即乙代表团的人数(简称乙数)除以36余25;甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数×乙数”张照片,由于每个菲林拍36张,所以最初一个菲林拍的张数,等于“甲数×乙数”除以36的余数。

  由于甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

  (11×25)÷36=7……23,

  即最初一个菲林拍了23张,还可拍36-23=13(张)。

  由例6看出,将现实问题转化为我们熟悉的数学问题,有助于我们思虑解题。

  例7:5397被一个质数除,所得余数是15.求这个质数.

  解:这个质数能整除

  5397-15=5382,

  而 5382=2×31997×13×23.

  由于除数要比余数15大,除数又是质数,所以它只能是23.

  当被除数较大时,求余数的一个简洁方式是从被除数中逐次去掉除数的整数倍,从而获得余数。

  例8:求 645763除以7的余数。

  解:能够先去掉 7的倍数630000余15763,再去掉14000还余下 1763,再去掉1400余下363,再去掉350余13,最初得出余数是6.这个过程可简单地记成

  645763→15763→1763→363→13→6.

  若是演算能力强,上面过程能够更简单地写成:

  645763→15000→1000→6.

  带余除法能够得出下面很有用的结论:

  若是两个数被统一个除数除余数不异,那么这两个数之差就能被阿谁除数整除。

  例9:有一个大于 1的整数,它除967,1000,2001获得不异的余数,那么这个整数是几多?

  解:由上面的结论,所求整数应能整除 967,1000,2001的两两之差,即

  1000-967=33=3×11,

  2001-1000=1001=7×11×13,

  2001-967=1034=2×11×47.

  这个整数是这三个差的公约数11.

  请留意,我们不必求出三个差,只需求出此中两个就够了。由于另一个差总能够由这两个差获得。

  例如,求出差1000-967与2001-1000,

  2001-967=(2001-1000)+(1000-967)

  =1001+33

  =1034

  从带余除式,还能够得出下面结论:

  甲、乙两数,若是被统一除数来除,获得两个余数,那么甲、乙两数之和被这个除数除,它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数。

  例如,57被13除余5,152被13除余9,那么57+152=209被13除,余数是5+9=14被 13除的余数1.

  例10:有一串数排成一行,此中第一个数是15,第二个数是40,从第三个数起,每个数刚好是前面两个数的和,问这串数中,第1998个数被3除的余数是几多?

  解:我们能够按照标题问题的前提把这串数写出来,再看每一个数被3除的余数有什么纪律,但如许做太麻烦。按照上面说到的结论,能够采纳下面的做法,从第三个数起,把前两个数被3除所得的余数相加,然后除以3,就获得这个数被3除的余数,如许就很容易算出前十个数被3除的余数,列表如下:

  从表中能够看出,第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数不异。因而这一串数被3除的余数,每八个轮回一次,由于

  1998= 8×249+ 6,

  所以,第1998个数被3除的余数,应与第六个数被3除的余数一样,也就是2.

  一些有纪律的数,常常会轮回地呈现.我们的计较方式,就是轮回制.计较钟点是

  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

  这十二个数形成一个轮回。

  按照七天一轮计较天数是

  日,一,二,三,四,五,六.这也是一个轮回,相当于一些持续天然数被7除的余数

  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6的轮回,用轮回制计较时间:钟表、礼拜、月、四时,申明人们很早就发觉轮回现象.用数来反映轮回现象也是很天然的事。

  轮回现象,我们还称作具有“周期性”,12个数的轮回,就说周期是12,7个数的轮回,就说周期是7.例 10中余数的周期是8。研究数的轮回,发觉周期性和确定周期,是很风趣的事。

  下面我们再举出两个余数呈现轮回现象的例子。在讲述例题之前,再讲一个从带余除式得出的结论:

  甲、乙两数被统一除数来除,获得两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除,它的余数就是两个余数的积,被这个除数除所得的余数.

  例如,37被11除余4,27被11除余5,37×27=999被 11除的余数是 4×5=20被 11 除后的余数 9。

  1997=7×285+2,就晓得1997×1997被7除的余数是2×2=4.

  例 11:191997被7除余几?

  解:从上面的结论晓得,191997被7除的余数与21997被7除的余数不异.我们只需考虑一些2的连乘,被7除的余数.

  先写出一列数

  2,2×2=4,2×2×2 =8,

  2×2×2×2=16,…

  然后逐一用7去除,列一张表,看看有什么纪律。列表如下:

  现实上,只需用前一个数被7除的余数,乘以2,再被7除,就能够获得后一个数被7除的余数.(为什么?请想一想.)

  从表中能够看出,第四个数与第一个数的余数不异,都是2.按照上面临余数的计较,就晓得,第五个数与第二个数余数不异,……因而,余数是每隔3个数轮回一轮。轮回的周期是3。

  1997=3×665 +2

  就晓得21997被7除的余数,与21997 被 7除的余数不异,这个余数是4。

  再看一个稍复杂的例子。

  例12:70个数排成一行,除了两端的两个数以外,每个数的三倍都刚好等于它两边两个数的和.这一行最右边的几个数是如许的:

  0,1,3,8,21,55,…

  问:最左边一个数(第70个数)被6除余几?

  解:起首要留意到,从第三个数起,每一个数都刚好等于前一个数的3倍减去再前一个数:

  3=1×3-0,

  8=3×3-1,

  21=8×3-3,

  55=21×3-8,

  不外,真的要一个一个地算下去,然后逐一被6去除,那就太麻烦了。可否畴前面的余数,算出后面的余数呢?能!同算出这一行数的法子一样(为什么?),从第三个数起,余数的计较法子如下:

  将前一个数的余数乘3,减去再前一个数的余数,然后被6除,所得余数便是

  用这个法子,能够逐一算出余数,列表如下:

  留意,在算第八个数的余数时,要呈现0×3-1这在小学数学范畴不答应,由于我们求被6除的余数,所以我们能够 0×3加6再来减 1

  从表中能够看出,第十三、第十四个数的余数,与第一、第二个数的余数对应不异,就晓得余数的轮回周期是 12

  70 =12×5+10

  因而,第七十个数被6除的余数,与第十个数的余数不异,也就是4。

  在一千多年前的《孙子算经》中,有如许一道算术题:

  “今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”按照现在的线,求这个数。

  如许的问题,也有人称为“韩信点兵”.它构成了一类问题,也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解前提息争的方式被称为“中国残剩定理”,这是由中国人提出的。很多小学数学的课外读物都喜好讲这类问题,可是它的一般解法决不是小学生能弄大白的。这里,我们通过两个例题,对较小的数,引见一种通俗解法。

  例13:有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?

  解:除以3余2 的数有:

  2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23…

  它们除以12的余数是:

  2,5,8,11,2,5,8,11,…

  除以4余1的数有:

  1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,…

  它们除以12的余数是:

  1, 5, 9, 1, 5, 9,…

  一个数除以12的余数是独一的.上面两行余数中,只要5是配合的,因而这个数除以12的余数是5

  上面解法中,我们逐一列出被3除余2的整数,又逐一列出被4除余1的整数,然后逐一考虑被12除的余数,找出两者配合的余数,就是被12除的余数.如许的列举的法子,在考虑的数不大时,是很有用的,也是同窗们最容易接管的。

  若是我们把例23的问题改变一下,不求被12除的余数,而是求这个数.很较着,满足前提的数是良多的,它是

  5+ 12×整数

  整数能够取0,1,2,…,无限无尽.现实上,我们起首找出5后,留意到12是3与4的最小公倍数,再加上 12的整数倍,就都是满足前提的数.如许就是把“除以3余2,除以4余1”两个前提归并成“除以12余5”一个前提。《孙子算经》提出的问题有三个前提,我们能够先把两个前提归并成一个.然后再与第三个前提归并,就可找到谜底.

  例14:一个数除以 3余2,除以5余3,除以7余2,求合适前提的最小数.

  解:先列出除以 3余2的数:

  2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…,

  再列出除以5余3的数:

  3, 8, 13, 18, 23, 28,….

  这两列数中,起首呈现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个前提归并成一个就是

  8+15×整数,

  列出这一串数是

  8, 23, 38,…,

  再列出除以7余2的数

  2, 9, 16, 23, 30,…,

  就得出合适标题问题前提的最小数是23.

  现实上,我们已把标题问题中三个前提归并成一个:被105除余23.

  最初再看一个例子.

  例15:在100 至200之间,有三个持续的天然数,此中最小的能被3整除,两头的能被5整除,最大的能被7整除,写出如许的三个持续天然数.

  解:先找出两个持续天然数,第一个能被3整除,第二个能被5整除(又是被3除余1).例如,找出9和10,下一个持续的天然数是11.

  3和5的最小公倍数是15,考虑11加15的整数倍,使加得的数能被7整除.11+15×3=56能被7整除,那么54,55,56这三个持续天然数,顺次别离能被3,5,7整除.

  为了满足“在100至200之间”将54,55,56别离加上3,5,7的最小公倍数105.所求三数是

  159, 160, 161。

  张维国. 除数是小数的除法不足数吗?[J]. 小学讲授参考, 2012(8):75-75.

  冯海芳. 带余数的除法[J]. 小学讲授设想, 2005(14).

  周士藩. 巧用余数性质解题[J]. 初中生数学进修, 2002(Z1).

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